누구나 살면서 수많은 문제들과 만난다. 단순하게 해결되는 경우도 있지만, 도저히 답을 찾을 수 없거나 어떤 답을 원하는지 조차 모르는 경우에 직면하기도 한다. 그럴 때 질문을 탐구하는 과정 자체가 새로운 길을 보여줄 때가 있다. 수학이 필요한 시간은 바로 그런 순간이라고 이야기 한다. 저자는 답보다 질문을 먼저 찾아내고, 그 속에서 구조와 패턴, 규칙성과 오류를 발견하여 논리를 활용해 문제를 해결해나가는 일련의 과정 자체가 '수학적 사고'라고 정의한다.
수학이란 무엇인가? 물었을때 가장 먼저 떠오르는 답은 통상 "숫자"라고 이야기 한다. 그러나 엄밀하게 말해 숫자와 수는 다르다. '숫자'는 아라비아 글자로 1,2,3, 한자로 一, 二, 三 또는 로마자로 I, II, III 라고 '"수"를 표현하는 언어적 표현 방법'일 뿐이다. 숫자가 지시하는 수는 '수체계'를 이루는 여러 개념적 원소 중의 하나라고 정의할 수 있다. '수체계'란 어떤 집합에 연산 2개가 주어져서 하나는 덧셈 비슷한 성질을 가지고 있고 다른 하나는 곱셈 비슷한 성질을 가지고 있으며, 둘 사이에 또 적당한 관계가 성립되면 수체계라 불리운다. 그런 수체계가 주어졌을 때 그 체계 속의 원소를 수라고 부른다. 수학이란 바로 이러한 추상적인 개념적 도구(수체계 & 수 등)를 사용해 세상을 체계적으로 또 정밀하게 설명하려는 학문이다.
갈릴레오는 이렇게 말하였다. "우리가 우주를 이해하기 위해서는 우주에 관해 쓰여 있는 언어를 배우고 친숙해져야 하는데, 그 언어는 수학적인 언어다" 수학은 특별하거나 특정한 종류의 논리나 사고가 아니라, 우리가 일상과 우주를 이해하는보편적인 접근 방법이라 할 수 있다.
수학은 여느 학문과 마찬가지로 인간과 함께 발전해온 역사의 산물이다. 예를 들어 기초 산수인 덧셈, 뺄셈, 나눗셈은 고대에는 전문가들의 영역이었다. 그러나 지금은 읽기 능력보다 훨씬 더 보편적인 능력이 되었다. 이렇게 되기까지는 매우 오랜 시간이 걸렸다. 오늘날 누구나 알고 있는 확률이론은 17세기에 시작되었는데 처음에는 비전문가들이 이해하기 어려운 개념이었다. 하지만 이제 사람들은 휴대전화에서 '37%의 비올 확률'을 읽고, 이를 이해하는데 전혀 무리가 없다. 수학의 발전은 거의 모든 영역과 연결되어 있다. 미적분학은 약 400년 전 태양 주위의 행성과 지구 주의의 달의 움직임을 설명하기 위해 발명되었다. 오늘날 미적분학은 물리학, 경제학, 생물학, 공학의 모든 측면에서 사용되고 있으며 최근에는 기계학습과 인공지능의 최적화 알고리즘에서 중요한 역할을 한다. 이처럼 역사적 흐름속에서 수학이론은 점점 일반인들에게 상식으로 받여들여지고 세상을 이해하는 도구가 되고 있다.
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저자가 정의하는 "수학적 사고"라는 것; 수학은 정답을 찾는 것이 아니라, 오류를 극복하며 답을 찾아가는 과정이라는 것에 깊은 깨달음을 얻었다. "우리는 답을 찾아가는 과정에서 답을 맞히려고 하지 틀리려고 하지 않습니다. 그런데 틀리기 싫어하면 어떤 질문이 가진 오류도, 어떤 방법이 가진 한계도 발견하기 어렵습니다". 틀리기 싫기 때문에 맞다고 생각하는 것만 찾거나 고집하는 자세가 결국 오류를 범하게 되고 함정에 빠지게 된다라는 가르침. 답을 얻고자 할 때는 가설을 세우고 자신이 세운 가설을 반증하려는 노력이 중요하다. 자신의 가설이 틀릴 수 있는 가능성을 인정하고, 자기 주장이 어떻게 틀릴 수 있는지 자꾸 검증해보려는 노력이 수학적 사고의 핵심이라고 할 수 있다.
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